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L'equazione idrostatica - Modulo 1

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quinta formulaL’articolo in esame rappresenta il primo di una serie che ho intenzione di dedicare alla didattica, e in particolare a quelle che sono le equazioni matematiche fondamentali che descrivono i fenomeni atmosferici. L’obiettivo generale è quello di ottenere, passaggio dopo passaggio, alcune semplici relazioni e di manipolarle allo scopo di comprendere meglio alcune dinamiche che, ai più, sono note solo qualitativamente. Cominciamo con il concetto di atmosfera in equilibrio idrostatico.

Prima di addentrarci in dettaglio nella fisica e nella matematica del problema introduciamo l’oggetto del nostro studio. L’atmosfera è un involucro gassoso che circonda la Terra, è soggetto alla sua forza di gravità e la segue nei suoi movimenti di rotazione (intorno al proprio asse) e di rivoluzione (intorno al Sole).

Potrebbe sorgere spontanea una domanda: Come mai per l’effetto della gravità l’atmosfera non è tutta schiacciata sulla superficie terrestre? 

La risposta risiede nella natura gassosa dell’atmosfera. I gas infatti, per natura, tendono ad occupare tutto lo spazio a loro disposizione esercitando in ogni punto di esso la medesima pressione. Ogni squilibrio di pressione che viene a crearsi genera immediatamente una forza diretta dalla pressione maggiore a quella minore tendente a ristabilire l’equilibrio originario. Ciò ci fornisce lo strumento per rispondere alla domanda che ci siamo posti; a causa della forza di gravità infatti l’atmosfera è disposta non uniformemente attorno alla superficie terrestre ma con densità, e ovviamente pressione, decrescenti dal basso verso l’alto. Esiste quindi una differenza di pressione tra la base e la sommità dell’atmosfera che genera una forza uguale e contraria alla gravità facendo sì che questa eviti di far collassare l’atmosfera in uno straterello adiacente alla superficie terrestre.

L’equilibrio risultante tra la forza di pressione e la forza di gravità prende il nome di equilibrio idrostatico.

Consideriamo quello che in gergo si definisce “volume elementare”. A cosa intendiamo riferirci con questa curiosa dizione? Parliamo di un volume d’aria di dimensioni infinitesimali (infinitamente piccole); potremmo definirlo come la più piccola porzione d’aria che ne conserva le proprietà macroscopiche. Perché prendere in esame un volume elementare e non un volume finito? La risposta è più semplice di quanto si pensi: un qualsivoglia volume finito può essere pensato come somma di infiniti volumi infinitesimi (sembra un gioco di parole!); pertanto, le caratteristiche di un volume finito si ottengono semplicemente “sommando” le caratteristiche dei volumi infinitesimi che lo costituiscono (questa legge va sotto il nome più generale di Principio di Sovrapposizione Degli Effetti)

 

volume

 



Sulla faccia inferiore del volume elementare agisce una pressione maggiore di quella agente sulla faccia superiore; questo perché sappiamo, in base alle considerazioni precedenti, che la pressione diminuisce con la quota. L’incremento di pressione che si registra sulla faccia inferiore lo indichiamo con dp. La forza di gravità, data dal prodotto della massa m del cubetto per l’accelerazione di gravità g, è applicata al baricentro del cubetto ed è diretta verso il centro della terra (e quindi lungo la direzione della verticale locale)

L’equilibrio tra la forza di pressione e la forza di gravità si esprime dal punto di vista matematico uguagliando a zero la risultante delle suddette forze:

prima formula

dove dx e dy sono rispettivamente le lunghezze dei lati del volume elementare diretti lungo x e lungo y. Le forze di pressione sono state moltiplicate per le aree delle superfici su cui agiscono essendo la pressione, per definizione, una forza per unità di superficie. Le forze dirette verso l’alto/il basso sono considerate positive/negative perché concordi/discorsi con il verso dell’asse z.

Svolgendo i calcoli e ricordando che la massa m è data dal prodotto della densità “rho” (lettera dell’alfabeto greco simile ad una p) per il volume (dato dal prodotto delle lunghezze dei tre lati), otteniamo:

seconda formula

 

Rielaborando i termini abbiamo:

terza formula

 

Eliminado il prodotto dxdy che compare in entrambi i membri otteniamo:

quarta formula

 

da cui in definitiva ricaviamo:

quinta formula

 

 

dp/dz è il cosiddetto gradiente barico verticale ed è una misura della rapidità di variazione della pressione con la quota.

L’equazione che abbiamo ricavato prende il nome di Equazione Idrostatica nota anche come Legge di Stevino e fa parte, a pieno titolo, del set di equazioni prognostiche su cui si basano i modelli matematici per le previsioni meteorologiche a scala sinottica.

Naturalmente in questa equazione non sono presenti tutti i fenomeni fisici che si manifestano lungo la colonna d’aria; non abbiamo considerato nè la forza di attrito, legata alla viscosità dell’aria, né la forza d’inerzia, legata all’accelerazione, né la forza di Coriolis, legata alla rotazione terrestre. Ci siamo concessi il lusso di fare questa esemplificazione perché si potrebbe dimostrare che gli effetti legati a queste tre forze sono di entità fortemente minore rispetto a quelli prodotti dalla gravità e dalla forza di pressione, a patto di considerare moti a scala sinottica.

Nel prossimo editoriale introdurremo l’equazione di stato dei gas perfetti e successivamente la combineremo con l’equazione idrostatica per svolgere delle importanti considerazioni.

Spero di essere stato sufficientemente chiaro. In caso contrario, vi invito a lasciare un commento; sarò felice di fornirvi ulteriori delucidazioni.

Ing. Michele Girfoglio

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