Didattica fenomeni & parametri atmosferici
Laboratorio di Fisica dell'Atmosfera, esperimento 3: Legge di Hooke, costante elastica, moto smorzato esponenzialmente
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- Categoria: Didattica fenomeni & parametri atmosferici
- Pubblicato 22 Aprile 2012
- Scritto da Brando Trionfera
L'esperimento effettuato in laboratorio è stato diviso in 3 fasi principali nelle quali è stato necessario verificare diversi parametri relativi al moto della molla. Lo scopo prefissato nel primo punto era quello di riuscire a verificare la legge di Hooke, solitamente scritta come F=kx , la quale afferma che l'allungamento di una molla è direttamente proporzionale alla forza F che la sollecita dove "k" è la costante elastica della spirale utilizzata per prelevare i dati che rimane costante al variare della massa del corpo utilizzata in loco.
In tal senso, la molla è stata sospesa verticalmente e sono state attaccate ad essa varie masse m, caso in cui F=mg ( risulta il peso del carico ) e di conseguenza x=mg/k=(g/k)m dove,come già detto in precedenza, k non varia.
Il secondo step riguardo all'esperimentazione sopra citata, era finalizzato a verificare che la frequenza di oscillazione di una molla e graficamente di forma sinusoidale , alla quale è stato agganciato un reggi peso di massa m , non varia durante il moto.L'ultima parte infine, analizza dettagliatamente lo smorzamento del moto armonico e consiste nell'ottenere il valore di b ( coefficiente viscosità dell'aria ) ed il suo errore relativo , sapendo che l'altezza massima A delle onde di oscillazione si abbassi istante per istante.
La strumentazione utilizzata durante la prima parte dell'esperienza è formata da una molla fissata su un'asta graduata , finalizzata a misurarne l'allungamento in sede di prova. E' stato inoltre necessario servirsi di una bilancia per misurare la massa espressa in grammi di ogni singolo corpo preso in esame che chiamiamo 1,2,3,4,5 ( p1=31,73g ; p2=30,77g ; p3=61,97g ; p4=149,03g ; p5=151,56g) di un indicatore (i=3,04g) che è stato accuratamente “agganciato” ad un poggia pesi di massa pari a 149,000g, affinchè si abbia una miglior lettura sull'asta graduata della posizione occupata dal corpo sulla molla.
Nella seconda parte dell'esperienza è stata utilizzata una strumentazione prettamente digitalizzata composta da un “sonar” , ossia un rilevatore di movimenti e oscillazioni con il sistema dei raggi ultrasuoni e un “transfer” che permettesse ai dati in ingresso del rilevatore di essere convertiti in una forma leggibile dal computer e dall'apposito software fornito in grado di leggere quanto registrato.
Lo stesso sonar riesce a sfruttare il riflesso di un'onda sonora da parte dell'oggetto che sta compiendo l'oscillazione per ottenere il valori dell'oscillazione in un determinato istante “t” , la sua velocità, il tempo e la sua accelerazione espressa in m/s2 che verranno inseriti automaticamente all'interno del programma “Logger Pro”. Gli input, una volta raccolti, vengono istantaneamente riportati su due grafici aventi rispettivamente sull'asse delle ascisse il tempo “t” espresso in secondi, mentre il primo su quella delle ordinate la posizione “x” occupata dal corpo dal quale rimbalzavano le onde ed il secondo diversamente la velocità “v” espressa in m/s di oscillazione. Per quanto riguarda invece la terza ed ultima parte dell'esperimento, è stato aggiunto al peso standard “installato” sulla molla, un “disco” di plastica per smorzare il moto di oscillazione
Come spiegato prima, questo esperimento è stato affrontato in 3 diverse parti:
Metodo statico: la molla è stata fatta deformare grazie all’azione di diverse masse agganciate alla sua estremità, e sono state fatte le relative misurazioni per quanto riguarda l’allungamento ( chiamato X, per non confonderlo con l’errore, ∆x). Attraverso la legge di Hooke, F=kX che lega la forza applicata alla molla al suo allungamento, è stato possibile calcolare la costante elastica della molla.
Per questo esperimento si è scelto di non prendere un riferimento x0 per l’allungamento della molla, quindi la vera formula utilizzata sarà:
La seguente tabella riporta le misurazioni effettuate con 8 diverse masse applicate alla molla:
Attraverso questi dati è stato possibile disegnare un grafico, che mette in relazione appunto
Come si può notare dalla tabella, gli errori relativi alla massa e all’allungamento sono invisibili nel grafico, e quindi è stato impossibile usare il metodo della minima e massima pendenza per trovarne il coefficiente angolare e quindi di conseguenza, la costante elastica della molla “k”. Per questo si è scelto di usare il metodo dei minimi quadrati.
Per questo metodo, è stata elaborata un’altra tabella per facilitare i calcoli:
Utilizzando la formula si ha:
E quindi:
Una volta calcolati i valori di A e B, può essere calcolata l’incertezza σ_y attraverso la formula:
L’errore calcolato attraverso quest’ultima formula è prossimo allo 0, quindi si è deciso di usare l’incertezza su y, prendendo l’errore strumentale del metro con cui sono state effettuate le misure:
Da cui:
Però:
Da cui:
- Metodo dinamico
Per questa parte dell’esperimento la molla gravata dalle masse, è stata lasciata oscillare liberamente; e trascurando la resistenza dell’aria, attraverso un programma di acquisizione dati al computer, è stato possibile con un “sonar”, elaborare un grafico sinusoidale che mettesse in relazione la posizione della massa con il tempo dell’oscillazione
Attraverso il grafico elaborato dal pc, sono stati calcolati i periodi di oscillazione di ogni massa, e il relativo errore:
In cui T indica il periodo, ∆t, l’errore sistematico per la misurazione del tempo, ed N il numero di oscillazioni nel tempo t.
Per T2, invece è stata utilizzata la formula:
Con questa raccolta di dati, infine è stato possibile usare il metodo della minima e massima pendenza, mettendo in relazione in un grafico:
I coefficienti angolari delle 2 rette (Cmax e Cmin) sono state calcolate attraverso la formula:
Utilizzando come punti delle rette:
come ascisse sempre x2= 0.577 e x1= 0.152 m, mentre come ascisse:
Questo è stato possibile perché le rette con massima e minima pendenza passavano per tutte le barre degli errori.
Più precisamente:
Il coefficiente angolare di quest’ultima risulta essere il coefficiente angolare della nostra equazione:
L’errore su C_med risulta essere:
Il risultato ottenuto con l’oscillazione della molla, è consistente con quello ottenuto con il metodo statico.
- Metodo dinamico con oscillazioni smorzate
In quest’ultima parte dell’esperienza, infine, alla massa oscillante è stato attaccato un disco in modo tale che la resistenza viscosa dell’aria, fin ad ora posta trascurabile, aumentasse. In questo caso la sinusoide elaborata dal programma ha una forma che decresce esponenzialmente.
L’equazione usata per calcolare il coefficiente di resistenza viscosa dell’aria è:
In cui A_max rappresenta il primo massimo della funzione, che nell’equazione resta costante, mentre A_0 indica tutti gli altri massimi che decadono esponenzialmente, infine t sta ad indicare l’intervallo di tempo tra A_max e A_0.
In tabella sono riportati i valori:
Quindi è stato possibile calcolare l’errore sul logaritmo
Con questi dati sono state graficate le rette di minima e massima pendenza:
I coefficienti angolari delle due rette sono stati calcolati attraverso le seguenti formule:
Richiamando allo scopo iniziale delle tre fasi suddette nell'introduzione, è possibile trarre le conclusioni in merito a quanto elaborato nei calcoli descritti precedentemente.
Nella prima parte dell'esperimentazione, è stato verificato che la costante k appartenente alla legge di Hooke non variava a seconda della massa che è stata fissata sulla molla. A seguito dei dati raccolti in base alle masse m1...m5, k è rimasta costante nel valore ≅6.3N/m
In relazione a quanto scritto in apertura riguardo alla seconda fase, l'elaborato ottenuto propone che la frequenza di oscillazione non subisce cambiamenti nel moto sinusoidale studiato digitalmente e inoltre il risultato ottenuto per la costante k calcolata, è consistente con quella calcolata con il metodo statico.
L'ultimo tassello dell'esperienza è stato, come detto, quello di verificare attraverso l'equazione dei massimi descritta nella parte relativa ai calcoli, che l'ampiezza del moto armonico della molla in fase di smorzamento decade velocemente.
I dati che abbiamo riportato collimano notoriamente con quelli relativi allo smorzamento del moto elastico , quali si evince come al variare degli istanti in cui si materializzano le oscillazioni, il valore dell'altezza massima proceda negativamente. Ne consegue che è stato possibile ricavare il seguente valore di b ( coefficiente della resistenza viscosa dell'aria ) ≅0.0099 ed il suo errore che risulta accettabile ±0.0008.
Si ricorda che l'esperimento è stato svolto in sede del Laboratorio di Fisica appartenente all'Università di Tor Vergata - Sezione INFN,
Gli alunni
Elio Alunno Camelia
Sebastiano Sgaramella
Brando Trionfera
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