Didattica fenomeni & parametri atmosferici

Laboratorio di Fisica,esperimento 2: Il moto parabolico di un corpo

Lo scopo: L'esperimento odierno consiste nel riuscire a calcolare la velocità iniziale di un corpo lanciato in un moto parabolico, variando l'angolo iniziale α. Il corpo,che nel nostro caso si tratta di una pallina di acciaio, verrà lanciato così su un bersaglio facente parte della strumentazione che verrà analizzata nel dettaglio poco più avanti.Oltre ad una relazione lineare e diversi valori delle gittate in relazione all’angolo, si otterrà la velocità di uscita che nel nostro caso dovrebbe essere di 3 m/s.Una volta che il corpo toccherà la carta carbone, si otterranno dei punti di caduta. La dispersione di questi ultimi sulla carta millimetrata, sarà valutata nella parte relativa ai calcoli ed alla metodologia.

Nell'esperienza è risultato fondamentale eseguire numerose prove ed avere un cospicuo numero di dati affinché si svolgano le operazioni richieste dall'esperimento.Il moto in questione, parabolico, è un moto che può essere scomposto lungo i 2 assi del piano in cui avviene (come possiamo notare nella figura )

L'equazione che regola questo moto è così definita:

In cui esplicitando t dalla legge oraria X(t)

Otteniamo la funzione che descrive la parabola del moto:

Otteniamo la funzione che descrive la parabola del moto:

La strumentazione: Per questa esperienza(come potete notare nella foto ) è stato utilizzato un apparato sperimentale composto da un cannoncino elastico con angolo di lancio variabile e un bersaglio(foto) mobile sul quale posizionare un foglio di carta millimetrata e un foglio di carta copiativa in modo tale da registrare la caduta della pallina su quest’ultimo. Inoltre come strumentazione supplementare è stato utilizzato un metro per misurare la distanza dal cannoncino al bersaglio e un calibro per misurazioni più precise della distanza dei vari rilevamenti sulla carta millimetrata.

Il cannoncino aveva a disposizione 3 compressioni per la molla, quindi 3 relative forze da imprimere alla pallina e di conseguenza 3 diverse velocità. Inoltre aveva  2 indicatori per la scelta dell’angolo in ogni suo lato e 2 viti stabilizzatrici per bloccare l’apparato. Il meccanismo di lancio invece era costituito essenzialmente da una leva che entrando nella scanalatura del braccio che comprimeva la molla, bloccava il tutto.

Misure e strategia: Utilizzando l’apparato sperimentale sopra descritto, si è proceduto con il raccoglimento dei dati.

Sono state fatte 6 prove con altrettanti diversi angoli: 10⁰, 15⁰, 20⁰, 25⁰, 30⁰ e 40⁰, e per ogni angolo diverso sono stati effettuati 20 lanci. Il cannoncino presentava diverse compressioni per la molla: per questo esperimento è stato scelto il secondo “step”.
Un volta scelto l’angolo, è stata fatta molta attenzione nel posizionare l’altezza del bersaglio alla stessa altezza in cui la pallina si sarebbe trovata appena iniziato il moto parabolico, ovvero in prossimità dell’uscita del cannoncino, per evitare altri errori nella misurazione. Ulteriore fattore non meno importante è stata la misurazione della distanza tra il punto di partenza del moto (x0) e l’inizio del bersaglio, a cui andrà aggiunta, poi, per ottenere la gittata complessiva, la distanza tra l’inizio del bersaglio e il punto di impatto della pallina (misurata sulla carta millimetrata). Come si può osservare, la pallina con l’impatto crea una “nuvola” di possibili gittate, causata dalle limitazioni della strumentazione.

Discussione degli errori: Nel procedere con l’esperimento è stato possibile stimare diversi errori, sia sistematici, che casuali. Per quanto riguarda gli errori sistematici , bisogna citare innanzitutto l’accuratezza dell’angolo scelto: la scala graduata si estendeva da 0 a 90 , di 5 in 5 , quindi era impossibile avere una giusta stima dell’angolo, ad esempio tra i 30 e i 35 , per questo si è deciso di posizionare l’indicatore esattamente sulle barrette che dividevano l’intervallo; ma questo di certo non escludeva completamente la possibilità di eventuali errori, per questo possiamo parlare di un da=±2°

Per la gittata, invece  le misurazioni per ogni prova erano 20, spinte in ogni direzione da diversi errori casuali, come una diversa dinamica di lancio da parte degli sperimentatori; e la conseguente media tra le diverse misurazioni, è stato calcolato l’errore sulla gittata attraverso la deviazione standard, ovvero una stima dell’incertezza media delle misure. Quest’incertezza è stata calcolata attraverso la seguente formula:

Successivamente è stata fatta la deviazione standard sulla media:

In cui N rappresenta il numero di misure e  gli scarti quadratici, ovvero di quanto differisce ogni misurazione dalla media, elevato al quadrato.
Riguardo la misura dell’angolo, bisogna menzionare la propagazione degli errori su sin2α , rispetto a Da . Quest’ultima è stata misurata attraverso l’equazione:

Riportati di seguito, nella prima tabella, i risultati sperimentali delle misurazioni, errori e relative propagazioni:

Grazie a questi dati è stato possibile elaborare il grafico della retta che interpola i dati nel migliore dei modi:

 Tutto ciò è stato calcolato attraverso la tecnica dei minimi quadrati, per la quale, per una serie di dati, che dovrebbero adattarsi ad una retta del tipo Y = AX + B , esistono delle relazioni affinché questa retta sia la migliore possibile che interpola i dati a disposizione.

In questo caso il valore dell’intercetta, ovvero il valore di A è uguale a 0, quindi ci si può limitare al calcolo della costante B, cioè al valore del coefficiente angolare, attraverso la formula:

Che diventano:

Per questo calcolo è stata elaborata una seconda tabella per facilitare i calcoli:

Di seguito sono riportati quelli numerici

Per quanto riguarda il relativo errore, è possibile calcolarlo con la seguente formula:

Dalla quale: 

Con i dati contenuti in questa tabella

è stato possibile eseguire i calcoli e trovare il valore di

Questo però rappresenta, l’incertezza su   , e non su V , per questo,bisogna usare le formule della propagazione degli errori.
E si agirà algebricamente di conseguenza:

Quindi

Infine l'errore su v , numericamente, viene così calcolato:

Pertanto

Per quanto riguarda l’approccio statistico all’esperimento, a proposito di  a=35°  sono stati effettuati 135 lanci, affinchè fosse stato possibile elaborare un'istogramma e una relativa curva di gauss. Di seguito la tabella che mostra gli intervalli della classe e la relativa frequenza:

Conclusioni: Lo scopo dell'esperimento era pertanto quello di calcolare in base ai dati raccolti il valore della velocità iniziale e di “confermare” la legge del moto parabolico di un corpo. Dati gli errori citati prima, la calcolata era di 2.97 m/s, a fronte del valore previsto inizializzato dello strumento pari a 3 m/s. Questo errore del 6.55%, è dovuto alla viscosità dell’aria che era stata posta trascurabile, eventuali spostamenti d’aria nelle vicinanze dell’area dell’esercitazione ed eventuali differenze di dinamica del lancio. La velocità ottenuta dai calcoli con l’esperimento è quindi pienamente comparabile con quella che è la spinta data dal cannoncino idealmente.

Si ricorda che l'esperimento è stato svolto in sede del Laboratorio di Fisica appartenente all'Università di Tor Vergata - Sezione INFN

Gli alunni 

Elio Alunno Camelia

Sebastiano Sgaramella

Brando Trionfera

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